督促状や裁判ということはありません
税金と異なり国民年金の場合は、未払いでも強制的に払わなければならないということはありません。 また何年後かに何かの都合で払わなければならないということも、ありません。 あくまでもご自身の積立ですので、払わないと損をしますよという程度になります。

老齢基礎年金が受給できなくなるケース
６０歳までに加入期間がトータルで２５年（３００ヵ月）以上ないと、支払った金額は１円も受給できませんので、支払った分は損になります。 受給金額の満額は年間で約７９万円の支給になり、そこから未払い期間や免除期間を引いて算出され計算されたのが受給額になります。 免除期間は国民年金の受給要件では「支払っていた」ことになりますので、免除期間は加算されますが、未払いはカウントされません。
ちなみに厚生年金の受給要件は１５年以上になります。

もしもの時の障害年金が受給できなくなる
事故や病気で障害を負った時に、受給しようと思い申請しようとしても未払い期間により、申請できなくなっています。 受給額が年間で約８０万円なので大きな金額となります。 障害基礎年金を受けるためには、初診日のある月の前々月までの公的年金の加入期間の２／３以上の期間について、保険料が納付又は免除されていること、または初診日のある月の前々月までの１年間に保険料の未納がないことが必要です。

「免除」は申請をしないとなりません。勝手に払わないのは「未払い」になってしまいます。

【所得に応じた減免】
申請をすることによって、「全額〜２５％」までを審査によって減免してもらうことができます。 減免の基準は所得額で単身世帯ですと「１８９万円以下」、２人の世帯ですと「２４７万円以下」の所得ですと可能になります。 支払わなかった分は老齢年金を受給の際に引かれてしまいますが、支払った期間（全額免除でも）としては加算されます。

【３０歳未満の免除】
若年者納付猶予として３０歳までの方は申請により免除してもらうことができます。

【失業】
失業したことにより急激に所得が減り支払いが困難ということで、失業から１年は支払いを免除してもらえることが多いです。これも申請が必要になります。 全国で国民年金加入者の内３０％以上の方が上記の理由で免除をうけています。

減免や未払いについては、過去２年間分については支払うことが可能となっています。 所得や生活に余裕が出来た時に、補填することにより将来受け取れる金額を減らさないようにできます。 １〜２年は免除してもらって、所得に余裕が出来た時に納付するという形にするのが良いかと思う。
未払いだと、万が一の時に障害を負って申請するようなことがある時に困ってしまいます。